MAT_P1 — Matematică-informatică — prima probă E

Programa de examen pentru disciplina Matematică la examenul național de bacalaureat 2030.

Cod programă	MAT_P1
Proba	Prima probă E (scrisă)
Raportare curriculară	TC+CS
Filieră	Teoretică
Profil	Real
Specializare / domeniu	Matematică-informatică
Sursă	Monitorul Oficial, Partea I, nr. 737 bis / 2 sept. 2026, Anexa nr. 4.1

← Înapoi la programe școlare

Preambul

• Prima probă E (probă scrisă, specifică profilului/specializării)
• Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică

Programa de examen este realizată în conformitate cu prevederile Programei școlare pentru disciplina Matematică, clasele a IX-a - a XII-a, trunchi comun și curriculum de specialitate (TC+CS), pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică, aprobată prin OMEC nr. 6930/2025, Anexa nr. 27. Prezenta programă precizează competențele generale și competențele specifice care vor fi evaluate, domeniile de conținut și conținuturile vizate de evaluarea specifică acestui examen.

Programa de examen pentru disciplina Matematică - MAT_P1 (TC+CS), fundamentează elaborarea subiectelor și a baremelor de evaluare și de notare pentru prima probă E, din cadrul examenului național de bacalaureat 2030. Evaluarea vizează competențele specifice care contribuie la formarea/dezvoltarea competențelor generale pe parcursul ciclului liceal, clasele a IX-a - a XII-a, prin raportare la profilul de formare al absolventului.

Obiectivul evaluării prin proba de examen, la disciplina Matematică, programa MAT_P1 (TC+CS), este de a constata măsura în care candidatul identifică și prelucrează date matematice, utilizează și exprimă în limbaj specific matematicii concepte și algoritmi, analizează și modelează caracteristici ale unei situații date, de complexitate corespunzătoare raportării disciplinei în cadrul segmentelor curriculare trunchi comun și curriculum de specialitate (TC+CS) și tipului de probă.

Competențele generale evaluate (CG.1–CG.6) sunt comune tuturor programelor de examen la Matematică.

Competențe generale și competențe specifice evaluate

CG.1 – Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care acestea apar

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.1.1.	Identificarea propozițiilor elementare din care este alcătuit un enunț matematic
IX.CS.1.2.	Identificarea elementelor specifice șirurilor/progresiilor în contexte variate
IX.CS.1.3.	Identificarea unor relații de tip dependență funcțională între variabile sau entități, pentru a evidenția elemente ale funcțiilor
IX.CS.1.4.	Identificarea pe cercul trigonometric a punctelor asociate unor numere reale
IX.CS.1.5.	Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor măsuri (lungimi de segmente,
X.CS.1.2.	Identificarea unor expresii ce conțin puteri, exponențiale și logaritmi, în diferite contexte matematice și practice Identificarea elementelor de combinatorică în diferite contexte matematice și din viața cotidiană
X.CS.1.3.	Identificarea numerelor complexe și a formelor de reprezentare a lor în diferite contexte
X.CS.1.5.	Identificarea unor polinoame, funcții polinomiale sau ecuații algebrice care verifică condiții Identificarea unor exemple de fenomene care pot fi modelate matematic, utilizând concepte statistice/probabilități
XI.CS.1.1.	Identificarea tipurilor de matrice și a proprietăților care le definesc, din diferite forme de scriere a acestora, în contexte matematice și aplicative
XI.CS.1.2.	Recunoașterea elementelor specifice unui sistem de ecuații liniare în diferite context
XI.CS.1.3.	Identificarea elementelor și relațiilor caracteristice dreptelor în planul cartezian (punct, pantă, ecuație, poziții relative), din enunțuri, reprezentări grafice sau seturi de date numerice
XI.CS.1.4.	Identificarea proprietăților unor șiruri de numere reale (mărginire, monotonie, convergență) utilizând diferite moduri de descriere a acestora (tabele, grafice sau text)
XI.CS.1.5.	Identificarea comportamentelor limită și a proprietăților de continuitate ale funcțiilor, din reprezentări grafice, tabele de valori sau expresii simbolice date
XI.CS.1.6.	Identificarea relațiilor dintre derivată și proprietăți ale funcțiilor (monotonie, extreme, concavitate/convexitate, puncte de inflexiune), din reprezentări grafice, simbolice sau
XII.CS.1.1.	Identificarea unor legi de compoziție și a proprietăților acestora pe mulțimile pe care sunt
XII.CS.1.2.	Identificarea unor grupuri sau subgrupuri în funcție de proprietățile legilor de compoziție definite pe diferite mulțimi
XII.CS.1.3.	Identificarea conicelor și a elementelor lor caracteristice
XII.CS.1.4.	Identificarea proprietăților unor funcții reprezentate în diferite moduri
XII.CS.1.5.	Identificarea legăturilor dintre o funcție și derivata sau primitiva acesteia
XII.CS.1.6.	Identificarea elementelor care conduc la calcularea și utilizarea unei integrale definite

CG.2 – Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse surse

informaționale

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.2.1.	Identificarea operațiilor cu propoziții elementare din cadrul unui enunț matematic
IX.CS.2.2.	Efectuarea de calcule pentru determinarea elementelor șirurilor, progresiilor aritmetice și geometrice, utilizând formule specifice
IX.CS.2.3.	Extragerea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ și structural, din reprezentări grafice pentru a descrie proprietățile unei funcții (monotonie, convexitate, puncte de extrem etc.) într- o situație practică dată
IX.CS.2.4.	Stabilirea unor caracteristici calitative/cantitative folosind funcții trigonometrice, inclusiv
IX.CS.2.5.	Aplicarea unor metode adecvate pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii
X.CS.2.2.	Prelucrarea datelor descrise cu ajutorul funcțiilor putere, exponențială sau logaritmică, pentru a stabili proprietăți ale acestora Prelucrarea unor situații matematice sau din viața cotidiană, a căror rezolvare necesită elemente de combinatorică
X.CS.2.3.	Efectuarea operațiilor cu numere complexe, în contexte variate de calcul
X.CS.2.5.	Efectuarea operațiilor cu polinoame, prin analogie cu calculul numeric, folosind coeficienții pentru extragerea de informații Prelucrarea unor informații cuprinse în seturi de date (probabilistice sau statistice) extrase din contexte practice și prezentate sub diferite forme: text, tabele, diagrame, grafice
XI.CS.2.1.	Prelucrarea datelor organizate sub formă matriceală, prin operații de adunare, scădere și înmulțire sau prin determinanți, în diverse contexte
XI.CS.2.2.	Prelucrarea datelor numerice și a relațiilor dintre coeficienți pentru a determina condițiile de compatibilitate și structura soluțiilor unui sistem de ecuații liniare
XI.CS.2.3.	Prelucrarea datelor numerice și geometrice pentru a obține ecuația unei drepte, evidențiind relațiile dintre coeficienți, puncte și pante, din descrieri verbale, grafice sau algebrice
XI.CS.2.4.	Prelucrarea datelor numerice sau simbolice asociate șirurilor de numere reale pentru a evidenția relații de variație, mărginire și comportament limită
XI.CS.2.5.	Prelucrarea datelor numerice, grafice și simbolice pentru a evidenția comportamentul limită și proprietățile de continuitate ale funcțiilor reale
XI.CS.2.6.	Prelucrarea unor informații numerice, simbolice și grafice pentru a evidenția rolul derivatei întâi și al derivatei a doua în descrierea comportamentului unei funcții (monotonie, puncte de extrem, concavitate/convexitate, puncte de inflexiune)
XII.CS.2.1.	Compararea proprietăților unor legi de compoziție definite pe diferite mulțimi
XII.CS.2.2.	Compararea proprietăților unor grupuri definite pe diferite mulțimi
XII.CS.2.3.	Utilizarea definițiilor geometrice ale conicelor pentru a le deduce ecuațiile canonice
XII.CS.2.4.	Utilizarea definițiilor geometrice și a cunoștințelor de analiză matematică pentru determinarea asimptotelor unor funcții
XII.CS.2.5.	Utilizarea unor concepte matematice pentru a stabili dacă o funcție admite sau nu primitive
XII.CS.2.6.	Prelucrarea unor concepte matematice pe baza cărora se obțin metode pentru determinarea integralelor definite ale unor funcții

CG.3 – Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.3.1.	Determinarea valorii de adevăr a unui enunț matematic format din propoziții legate prin
IX.CS.3.2.	Aplicarea algoritmilor de calcul pentru determinarea unor termeni și a sumelor unor termeni consecutivi ai progresiilor aritmetice și geometrice, în diferite contexte
IX.CS.3.3.	Aplicarea unor concepte și algoritmi matematici (funcții, rate de variație etc.), pentru a interpreta reprezentări grafice în scopul extragerii de informații relevante pentru rezolvarea, în contexte matematice, a unor probleme practice
IX.CS.3.4.	Calcularea valorii unei funcții trigonometrice când se cunosc informații despre valorile unei alte funcții trigonometrice
IX.CS.3.5.	Determinarea măsurilor unor unghiuri și a lungimilor unor segmente utilizând relații metrice
X.CS.3.1.	Utilizarea algoritmilor și a proprietăților funcțiilor putere, exponențială și logaritmică pentru rezolvarea de ecuații, inecuații și probleme din contexte matematice
X.CS.3.2.	Utilizarea elementelor de combinatorică pentru rezolvarea unor probleme matematice
X.CS.3.3.	Aplicarea unor algoritmi specifici calculului pentru rezolvarea de probleme cu numere
X.CS.3.4.	Folosirea calculului polinomial și a descompunerii în factori a polinoamelor în probleme de divizibilitate și în rezolvări de ecuații
X.CS.3.5.	Aplicarea algoritmilor de calcul și a funcțiilor numerice în studiul seriilor de date
XI.CS.3.1.	Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operațiilor cu matrice și determinanți
XI.CS.3.2.	Aplicarea algoritmilor și metodelor de calcul în rezolvarea unui sistem de ecuații liniare
XI.CS.3.3.	Utilizarea unor rezultate specifice geometriei analitice în calcularea ariilor unor suprafețe plane în contexte variate
XI.CS.3.4.	Utilizarea rezultatelor specifice limitelor de șiruri și a tehnicilor de prelucrare a termenilor generali pentru calcularea limitelor de șiruri
XI.CS.3.5.	Utilizarea criteriilor cu șiruri și a limitelor fundamentale în calcularea limitelor de funcții
XI.CS.3.6.	Utilizarea regulilor de derivare și a concluziilor teoremelor studiate în analizarea variației funcțiilor
XII.CS.3.1.	Folosirea proprietăților operațiilor binare în calculele specifice structurilor algebrice de
XII.CS.3.2.	Stabilirea structurii de grup sau subgrup a unei mulțimi, în raport cu diferite legi de compoziție
XII.CS.3.3.	Utilizarea unor algoritmi pentru reprezentarea grafică a conicelor
XII.CS.3.4.	Prelucrarea calitativă a asimptotelor și proprietăților derivatei întâi și derivatei a doua ale unei funcții, în vederea trasării graficului acesteia
XII.CS.3.5.	Prelucrarea unor concepte matematice pe baza cărora se obțin metode pentru determinarea primitivelor unor funcții
XII.CS.3.6.	Aplicarea metodelor de calcul pentru determinarea integralei definite a unei funcții

CG.4 – Exprimarea în limbajul specific matematicii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de rezolvare

pentru o situație dată

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.4.1.	Precizarea structurii logice a unui enunț
IX.CS.4.2.	Transpunerea în limbaj specific matematic a unor situații din viața cotidiană referitoare la șiruri sau progresii în scopul analizării comportamentului acestora
IX.CS.4.3.	Exprimarea unor concluzii și justificări matematice, utilizând limbajul specific funcțiilor (simboluri, formule, expresii, reprezentări), pentru a comunica informații extrase din reprezentări grafice, în contexte matematice practice
IX.CS.4.4.	Stabilirea unor relații matematice utilizând calculul trigonometric
IX.CS.4.5.	Caracterizarea în limbaj matematic a unei configurații geometrice folosind elemente de trigonometrie sau relații metrice
X.CS.4.2.	Exprimarea matematică a proprietăților funcțiilor putere, exponențială și logaritmică, pentru aplicarea lor în ecuații/inecuații corespunzătoare Exprimarea matematică a proprietăților permutărilor, aranjamentelor, combinărilor și a binomului lui Newton
X.CS.4.3.	Exprimarea în limbaj specific numerelor complexe a redactării raționamentelor matematice
X.CS.4.4.	Utilizarea limbajului specific polinoamelor în probleme de divizibilitate, ireductibilitate și în studiul ecuațiilor asociate
X.CS.4.5.	Descrierea în limbajul specific statisticii matematice/probabilităților a unor fenomene și a
XI.CS.4.1.	Exprimarea în limbaj simbolic a unui determinant utilizând definiția sau dezvoltarea acestuia în funcție de elementele unei linii/coloane
XI.CS.4.2.	Exprimarea în limbaj specific matematicii a etapelor de rezolvare a unui sistem de ecuații
XI.CS.4.3.	Exprimarea în limbaj matematic a relațiilor geometrice și a proprietăților caracterizate prin ecuații ale dreptelor în planul cartezian
XI.CS.4.4.	Exprimarea proprietăților numerice și a relațiilor de variație ale șirurilor de numere reale în
XI.CS.4.5.	Exprimarea în limbaj matematic a proprietăților unei funcții continue pentru stabilirea semnului funcției și/sau a imaginii acesteia
XI.CS.4.6.	Exprimarea, în limbaj matematic standardizat, a proprietăților funcțiilor derivabile și a concluziilor privind comportamentul acestora
XII.CS.4.1.	Stabilirea tipului de structură algebrică a unei mulțimi, prin verificarea proprietăților unor legi de compoziție concrete definite pe aceasta
XII.CS.4.2.	Folosirea unor procedee adecvate pentru soluționarea unor probleme specifice de teoria
XII.CS.4.3.	Stabilirea elementelor unor configurații geometrice
XII.CS.4.4.	Trasarea reprezentării grafice a unei funcții utilizând informațiile din tabelul său de variație și
XII.CS.4.5.	Aplicarea unor metode de calcul adecvate pentru determinarea primitivelor unei funcții
XII.CS.4.6.	Folosirea continuității sau a monotoniei unei funcții pentru a stabili proprietăți ale integralei

CG.5 – Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.5.1.	Formularea unui enunț matematic (axiomă, definiție, relație/proprietate/teoremă) asociat unei situații date
IX.CS.5.2.	Analizarea unor situații date în contexte intra și interdisciplinare, selectând modelul de progresie adecvat și metoda de rezolvare eficientă în funcție de datele disponibile
IX.CS.5.3.	Analizarea unor situații date prin interpretarea reprezentărilor grafice și evidențierea soluțiilor posibile pentru a interpreta situații reale și a formula concluzii argumentate în contexte intra și
IX.CS.5.4.	Analizarea proprietăților funcțiilor trigonometrice folosind reprezentarea grafică sau cercul
IX.CS.5.5.	Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanțe, de măsuri de unghiuri și de arii
X.CS.5.1.	Analizarea proprietăților și comportamentului funcțiilor putere, exponențială și logaritm ică, precum și a relațiilor dintre acestea, în contexte matematice sau cotidiene
X.CS.5.2.	Analizarea relațiilor și a proprietăților permutărilor, aranjamentelor, combinărilor și a binomului lui Newton
X.CS.5.3.	Interpretarea geometrică a operațiilor și a relațiilor dintre numere complexe
X.CS.5.4.	Analizarea unor situații date, prin determinarea, verificarea și implementarea elementelor
X.CS.5.5.	Analizarea informațiilor privind contexte practice/fenomene din realitatea imediată pentru alegerea/optimizarea metodelor de prelucrare a acestora și de prezentare a concluziilor extrase
XI.CS.5.1.	Analizarea condițiilor de inversabilitate a unei matrice pătratice
XI.CS.5.2.	Analizarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare (rang, Kronecker–Capelli sau Rouché)
XI.CS.5.3.	Analizarea pozițiilor relative a două drepte în plan (paralele, concurente) în diferite configurații
XI.CS.5.4.	Analizarea unui șir folosind proprietățile de monotonie și mărginire pentru studiul convergenței acestuia
XI.CS.5.5.	Analizarea comportamentului unei funcții în vecinătatea unui punct prin calcularea limitelor
XI.CS.5.6.	Interpretarea datelor din tabelul de variație a unei funcții reale și evidențierea celor mai importante rezultate (valori minime, valori maxime, intervale de monotonie și de convexitate/
XII.CS.5.1.	Compararea proprietăților unor legi de compoziție în funcție de mulțimile pe care sunt definite
XII.CS.5.2.	Stabilirea unor morfisme sau izomorfisme de grupuri
XII.CS.5.3.	Determinarea ecuațiilor unor conice cu diferite caracteristici particulare
XII.CS.5.4.	Implementarea unei strategii pentru rezolvarea unor situații concrete, utilizând reprezentarea grafică a funcțiilor
XII.CS.5.5.	Interpretarea proprietăților unei funcții și a metodelor de integrare, pentru a îi determina
XII.CS.5.6.	Alegerea criteriilor adecvate pentru stabilirea integrabilității unei funcții

CG.6 – Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii

Cod CS	Competență specifică
IX.CS.6.1.	Validarea unui enunț matematic asociat unei situații date
IX.CS.6.2.	Modelarea matematică, folosind șirurile sau progresiile, a unor situații și pentru luarea unor decizii fundamentate pe datele obținute implicațiilor în contexte
IX.CS.6.3.	Modelarea unei situații reale, utilizând un model matematic (funcții, relații) construit pe baza datelor extrase din reprezentări grafice, pentru a explica, a anticipa sau a optimiza rezultate în contexte precum economie, biologie sau fizică
IX.CS.6.4.	Descrierea unor relații între mărimi din diferite domenii, cu ajutorul funcțiilor trigonometrice
IX.CS.6.5.	Modelarea unor configurații geometrice utilizând metode metrice, trigonometrice, sintetice
X.CS.6.1.	Modelarea matematică a situațiilor cotidiene din domenii care implică funcția putere, exponențială sau logaritmică, inclusiv ecuații și inecuații în care acestea apar
X.CS.6.2.	Modelarea situațiilor matematice sau din viața cotidiană, utilizând elemente de combinatorică
X.CS.6.3.	Modelarea unor situații practice utilizând numere complexe
X.CS.6.4.	Modelarea unor situații practice utilizând noțiunea de polinom sau ecuații algebrice
X.CS.6.5.	Elaborarea unor proiecte care au ca obiectiv studiul unor fenomene din viața cotidiană, utilizând metode statistice/probabilistice de prelucrare, de analizare a datelor și de extragere a
XI.CS.6.1.	Modelarea situațiilor de compatibilitate a unor ecuații matriceale folosind determinanți și
XI.CS.6.2.	Modelarea situațiilor practice (de exemplu, probleme de resurse, amestecuri, echilibru chimic) folosind sisteme de ecuații liniare
XI.CS.6.3.	Modelarea situațiilor practice cu ajutorul conceptelor de geometrie analitică (distanțe, arii,
XI.CS.6.4.	Modelarea unor procese de creștere sau descreștere (de exemplu, amortizare, dobânzi, populație) prin șiruri numerice
XI.CS.6.5.	Modelarea fenomenelor continue sau discontinue prin limite și funcții continue
XI.CS.6.6.	Modelarea unor fenomene de variație continuă prin funcții (costuri, productivitate, optimiza re)
XII.CS.6.1.	Utilizarea în alte domenii a proprietăților structurilor algebrice
XII.CS.6.2.	Utilizarea grupurilor în aritmetică și în geometrie
XII.CS.6.3.	Utilizarea funcțiilor integrabile pentru calcularea unor arii delimitate de conice
XII.CS.6.4.	Modelarea unor situații concrete care conduc la studiul graficului unei funcții
XII.CS.6.5.	Modelarea unor situații concrete care conduc la calcularea unei integrale nedefinite
XII.CS.6.6.	Modelarea problemelor din diferite domenii prin utilizarea integralelor definite

Domenii de conținut și conținuturi

Conținuturile evaluate sunt organizate pe domenii de conținut și sunt prezentate cumulativ pentru ciclul liceal, în acord cu programa școlară în vigoare.

Algebră

IX.1. Elemente de logică matematică

• Propoziții, predicate; operații cu propoziții și predicate: negația, conjuncția, disjuncția, implicația, echivalența; cuantificatorul existențial și cuantificatorul universal; reguli de negare, reducere la absurd

Metoda inducției matematice

Notă: Calculul propozițional se va ilustra cu exemple concrete simple: și = intersecție/sistem de relații, sau = reuniune/ansamblu de cazuri, non (A și B) = non A sau non B, non (A sau B) = non A și non B, există = cel puțin un element convine etc.

IX.2. Șiruri și progresii1

• Șiruri; moduri de definire a unui șir. Progresii aritmetice și progresii geometrice: determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii2, caracterizarea unei progresii prin relația dintre orice trei termeni consecutivi, condiția ca n numere reale să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru $n\geq 3$

Notă: 1 Șirurile/progresiile vor fi abordate în contexte practice: prețuri, dobândă simplă, dobândă compusă, dinamica populației, modelarea unor fenomene din biologie, chimie etc. 2 Aplicație: deducerea formulei

$\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1},\quad n\in\mathbb{N},\ n\geq 2$

IX.3. Funcții

• Proprietăți generale ale funcțiilor Funcții: definiție, exemple1, modalități de a descrie o funcție, funcții egale, restricții ale unei funcții, imaginea unei funcții1

Reprezentarea grafică a unei funcții definite pe submulțimi ale lui $\mathbb{R}$

• , intersecția graficului cu axele de coordonate, drepte în plan de forma $x=m$ sau de forma $y=m$, $m\in\mathbb{R}$; semnul unei funcții numerice, interpretarea geometrică a soluțiilor ecuațiilor de forma $f(x)=m$ și $f(x)=g(x)$

Proprietăți ale funcțiilor numerice: monotonie, mărginire, paritate/imparitate,

• convexitate/concavitate; lecturi grafice2 Funcții obținute prin operații algebrice elementare (sumă, diferență, produs, raport); compunerea funcțiilor Funcții injective, surjective, bijective, inversabile: definiție, interpretare geometrică pentru funcții numerice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă; lecturi grafice3

Notă: 1 Se vor prezenta și funcția modul, funcția parte întreagă, funcția parte fracționară. 2 Pentru noțiunile prezentate se vor folosi, de regulă, funcțiile afine, restricții ale acestora sau funcții definite pe mai multe ramuri ale căror restricții să fie funcții afine. 3 Aplicațiile vor viza recunoașterea proprietăților funcțiilor numerice (mono tonie, mărginire, paritate/imparitate, convexitate/concavitate, injectivitate, surjectivitate) prin lectura unui grafic dat sau a unui grafic realizat cu ajutorul unor instrumente digitale. Funcția de gradul al doilea

• Definiție, reprezentare grafică, intersecțiile reprezentării grafice cu axele de coordonate1, axa de simetrie

Monotonia funcției de gradul al doilea; punctul de extrem

• Semnul funcției de gradul al doilea; interpretare geometrică (poziția unei parabole în raport cu axa Ox), inecuații de gradul al doilea studiate pe mulțimea $\mathbb{R}$, sau pe intervale de numere reale; interpretare geometrică (proiecții ale unor porțiuni de parabolă pe axe)

Relațiile lui Viète

• Sisteme care conțin ecuații de gradul al doilea2; interpretare geometrică3

Notă: 1 Se vor deduce formulele de rezolvare a ecuației de gradul al doilea. 2 Se vor studia următoarele tipuri de sisteme de două ecuații cu două necunoscute: sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și o ecuație de gradul al doilea, sisteme omogene, sisteme simetrice. 3 Se va evidenția interpretarea geometrică a rezolvării sistemelor de ecuații de forma

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ y = a_2 x^2 + b_2 x + c_2 \end{cases}$

cu exponent întreg. Funcția radical

• Funcția putere cu exponent întreg Radicali, operații cu radicali, proprietățile radicalilor; expresii conjugate. Funcția radical

Ecuații și inecuații cu radicali

Notă: La fiecare funcție se recomandă realizarea unor corelații interdisciplinare.

X.1. Funcții

• Puteri cu exponent real1. Funcția putere cu exponent real: proprietăți, reprezentare grafică2 Funcția exponențială: proprietăți, reprezentare grafică 2; ecuații și inecuații exponențiale Logaritmi: operații, formula de schimbare a bazei. Funcția logaritmică: proprietăți, reprezentare grafică2; ecuații și inecuații logaritmice

Notă: 1 Introducerea noțiunii de putere cu exponent real se va face folosind, la nivel intuitiv, ideea de aproximare. 2 Pentru reprezentarea grafică a funcțiilor se recomandă utilizarea unor instrumente digitale.

X.2. Elemente de combinatorică

• Metode de numărare (regula sumei și regula produsului). Permutări, aranjamente Combinări, formula de recurență a combinărilor, formula combinărilor complementare, triunghiul lui Pascal

Binomul lui Newton

X.3. Numere complexe

• Forma algebrică a unui număr complex: $z=a+bi$, unde $a,b\in\mathbb{R}$ și $i^2=-1$; planul complex; operații cu numere complexe scrise sub formă algebrică, proprietăți; modulul și conjugatul unui număr complex: proprietăți, interpretare geometrică; ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși, relațiile lui Viète

Forma trigonometrică a unui număr complex: înmulțirea și împărțirea numerelor

• complexe scrise sub formă trigonometrică; interpretare geometrică; puterea cu exponent întreg a unui număr complex, formula lui Moivre; rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex; interpretare geometrică; ecuații binome Aplicații ale numerelor complexe în geometrie: distanțe și unghiuri în planul complex; afixul unui punct care împarte un segment într-un raport dat (aplicații: afixul mijlocului unui segment și afixul centrului de greutate al unui triunghi); condiții de coliniaritate a trei puncte, de paralelism/perpendicularitate a două drepte

X.4. Polinoame cu coeficienți complecși

• Forma algebrică a unui polinom, egalitatea a două polinoame, adunarea și înmulțirea polinoamelor, valoarea unui polinom într-un punct, rădăcinile unui polinom, funcția polinomială Împărțirea polinoamelor, teorema împărțirii cu rest, împărțirea cu $X-a$, schema lui

Horner

• Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout Teorema fundamentală a algebrei (fără demonstrație), rădăcini multiple, descompunerea canonică a unui polinom, relațiile lui Viète; descompunerea în factori ireductibili a polinoamelor cu coeficienți în $\mathbb{Q}$, respectiv în $\mathbb{Z}$. Ecuații algebrice cu coeficienți reali, raționali, întregi; ecuații bipătrate, ecuații reciproce

XI.1. Matrice. Determinanți

• Matrice; mulțimi de matrice. Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un număr complex, ridicarea la putere a unei matrice pătratice; proprietăți Noțiunea de permutare, compunerea permutărilor, proprietăți. Inversiuni, semnul unei permutări

Determinant de ordin n, $n\in\mathbb{N}^*$, proprietăți

• Matrice inversabilă1. Ecuații matriceale

Notă: 1 În aplicațiile practice se vor calcula inversele unor matrice pătratice din $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, cu $n\in\mathbb{N}^*$, $n\leq 4$.

XI.2. Sisteme de ecuații liniare

• Sisteme de ecuații liniare1, sisteme de tip Cramer Rangul unei matrice; studiul compatibilității și rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: teorema Kronecker-Capelli, teorema lui Rouché Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și a ecuațiilor matriceale

Notă: 1 În aplicațiile practice se vor rezolva sisteme cu cel mult 4 ecuații și cel mult 4 necunoscute.

XII.1. Legi de compoziție

• Lege de compoziție (operație algebrică binară), tabla operației, lege de compoziție indusă pe o submulțime; exemple remarcabile de legi de compoziție pe mulțimi de numere, pe mulțimea părților unei mulțimi oarecare 1, pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții Proprietățile legilor de compoziție: asociativitate, comutativitate, existența elementului neutru, elemente simetrizabile; semigrupuri și monoizi Mulțimea $\mathbb{Z}_n$ a claselor de resturi modulo n, operațiile de adunare și înmulțire pe $\mathbb{Z}_n$ și proprietățile acestora2

Notă: 1 Se vor studia operațiile de reuniune, intersecție, diferență simetrică. 2 La $\mathbb{Z}_n$ se va studia și distributivitatea înmulțirii față de adunare, dedusă din cea de pe $\mathbb{Z}$.

XII.2. Grupuri

• Grup, exemple remarcabile: grupuri de ppermutări, grupuri de matrice, grupul lui Klein, grupul aditiv $(\mathbb{Z}_n,+)$, grupul multiplicativ $(\mathbb{Z}_n^*,\cdot)$, grupuri de transformări geometrice

Reguli de calcul într-un grup

• Subgrup

Ordinul unui element al unui grup

• Grup finit, teorema lui Lagrange, subgrupul generat de un element al unui grup finit

Morfism, izomorfism de grupuri

Notă: 1 Se vor studia: grupul translațiilor și grupul rotațiilor cu același centru.

Trigonometrie

IX.4. Funcții trigonometrice. Ecuații trigonometrice

• Cercul trigonometric; funcțiile sinus și cosinus definite pe intervalul $[0,2\pi)$; reducerea la primul cadran Funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă1; relații între funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă, cotangentă2

Formule trigonometrice pentru suma/diferența a două numere reale 3

• Transformarea sumelor în produse și a produselor în sume

Funcții trigonometrice inverse

• Ecuații trigonometrice4

Notă: 1 Se vor introduce noțiunile de funcție periodică și de perioadă și se vor evidenția prin lectura graficelor funcțiilor trigonometrice. 2 Se vor deduce formulele de tipul

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1,\quad \tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x},\quad \cos^2 x=\frac{1}{1+\tg^2 x},\quad \sin^2 x=\frac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x}$

formulele de forma $\sin(a\pm b)$, $\cos(a\pm b)$, $\tg(a\pm b)$ și formulele rezultate din

• , cos ) 4 Se vor studia următoarele tipuri de ecuații trigonometrice: $\sin x=a$, $\cos x=a$ ($a\in[-1,1]$); $\tg x=a$, $\ctg x=a$ ($a\in\mathbb{R}$); $\sin f(x)=\sin g(x)$, $\cos f(x)=\cos g(x)$, $\tg f(x)=\tg g(x)$, $\ctg f(x)=\ctg g(x)$; $a\sin x+b\cos x=c$, unde $a,b,c$ sunt numere reale nenule, și ecuații reductibile la acestea.

  grafică a funcțiilor trigonometrice și a funcțiilor trigonometrice inverse se recomandă și utilizarea unor instrumente digitale.

Geometrie

IX.5. Aplicații ale trigonometriei în geometrie. Relații metrice

• Teorema cosinusului, teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor Raza cercului înscris și raza cercului circumscris unui triunghi. Aria unui triunghi Teorema bisectoarei; relația lui Stewart; lungimile unor segmente importante din triunghi Concurență și coliniaritate în geometria plană: teorema lui Menelaus, teorema lui Ceva

XI.3. Elemente de geometrie analitică - drepte în planul cartezian

• Panta unei drepte; unghiul a două drepte; condiții de paralelism și de perpendicularitat e Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat și are panta dată; ecuația explicită a dreptei; ecuația unei drepte care trece prin două puncte date; ecuația generală a dreptei; condiția de coliniaritate a trei puncte în plan

Distanța de la un punct la o dreaptă; aria unui triunghi

Notă: Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date, condiția de coliniaritate a trei puncte în plan și aria unui triunghi se abordează și ca aplicații ale determinanților în geometrie.

XII.3. Conice

• Cercul, elipsa, hiperbola, parabola; reprezentare grafică, proprietăți Intersecția unei conice cu o dreaptă, intersecția a două conice, tangenta printr-un punct al unei conice la aceasta

Notă: Prezentarea conicelor se va face folosind cunoștințe de geometrie sintetică și analitică, iar pentru trasarea graficului acestora se vor folosi, eventual, cunoștințele generale de reprezentare grafică a funcțiilor și/sau instrumente digitale.

Date, statistică matematică și

X.5. Probabilități și statistică matematică

Probabilități

Statistică matematică

Analiză matematică

XI.4. Mulțimea numerelor reale. Limite de șiruri

• Mulțimea numerelor reale, mulțimi mărginite/nemărginite; dreapta reală încheiată; vecinătăți Limita unui șir: proprietăți1, subșiruri, șiruri convergente/divergente, limitele șirurilor nD și q n n t1; trecerea la limită în inegalități n t1

Operații cu șiruri convergente

• Criterii de existență a limitei unui șir (criteriul majorării – consecințe; criteriul cleștelui) Monotonie, mărginire, convergență; teorema lui Weierstrass (fără demonstrație); șirul n ( 1· 1 + xn x cu termen general -1 +,, $n\in\mathbb{N}^*$, numărul e; nlim of ) n) xn z 0, pentru orice n ∈

Operații cu șiruri care au limită; cazuri de nedeterminare

• n e, unde xn o 0 și

Notă: 1 Se vor prezenta: unicitatea limitei unui șir, limita nu se schimbă la adăugarea/eliminarea unui număr finit de termeni.

XI.5. Limite de funcții. Continuitate

• Punct de acumulare; punct izolat; limita unei funcții într-un punct (definiția cu șiruri); limite laterale Operații cu limite de funcții, proprietăți; limitele funcțiilor uzuale, lecturi grafice1

Limite

• Limite fundamentale:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0}(1+x)^x=e,\quad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\ (a>0,\ a\neq 1),\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\quad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{r}{x}\right)^x=e^r\ (r\in\mathbb{R})$

• Continuitatea unei funcții într-un punct: criteriul cu șiruri, continuitate laterală, puncte de discontinuitate; continuitatea unei funcții pe o mulțime; operații cu funcții continue
• Proprietatea valorilor intermediare; semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale, studiul existenței soluțiilor unor ecuații în $\mathbb{R}$. Continuitatea inversei unei funcții bijective și continue (fără demonstrație) ) lim \to 0 1, lim

Notă: 1 Se vor evidenția limitele funcțiilor uzuale studiate (putere, radical, exponențială, logaritmică, trigonometrice) în punctele de acumulare ale domeniului maxim de definiție.

XI.6. Funcții derivabile

• Derivata unei funcții într-un punct, derivate laterale, legătura dintre derivabilitate și continuitate, interpretare geometrică: tangenta la o curbă, puncte unghiulare, puncte de întoarcere Funcții derivabile, derivatele funcțiilor uzuale studiate, operații cu funcții derivabile, reguli de derivare, derivate de ordin al II-lea

Puncte de extrem ale unei funcții, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle (fără

• demonstrație); șirul lui Rolle, teorema lui Lagrange, consecințe ale teoremei lui

Lagrange, teoremele lui L’Hôpital (fără demonstrație)

• Studiul variației funcțiilor cu ajutorul derivatelor I1 și a II-a2

Aplicații ale derivatelor în contexte date de alte domenii

Notă: 1 Se evidențiază intervalele de monotonie și punctele de extrem ale unei funcții, în tabelul de variație. 2 Se definesc: funcția convexă, funcția concavă, punctul de inflexiune; se introduce caracterizarea convexității/concavității unei funcții pe baza semnului derivatei a II-a; se introduce caracterizarea punctului de inflexiune cu derivata a II-a. Se evidențiază intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune ale unei funcții, în tabelul de variație.

XII.4. Reprezentarea grafică a funcțiilor

• Asimptotele funcțiilor reale (orizontale, oblice, verticale)

Reprezentarea grafică a funcțiilor

• Rezolvarea grafică a ecuațiilor; utilizarea reprezentării grafice a funcțiilor pentru determinarea numărului de soluții ale unei ecuații

Notă: Se pot utiliza instrumente digitale pentru verificarea reprezentărilor grafice ale funcțiilor și pentru verificarea numărului de soluții ale unei ecuații.

XII.5. Primitive

• Primitivele unei funcții; teorema lui Darboux și legătura dintre proprietatea valorilor intermediare și funcțiile care au primitive; integrala nedefinită a unei funcții, proprietăți

Primitivele unor funcții continue uzuale

• Formula de integrare prin părți

Formula ∫ ( f u )( x) · u c ( x) dx ( F u )( x) +

• Primitivele funcțiilor raționale

XII.6. Funcții integrabile

• Diviziuni, sume Riemann; funcții integrabile, integrala definită; clase de funcții integrabile: funcții monotone și funcții continue (fără demonstrație); formula Leibniz–Newton; calculul limitelor unor șiruri folosind sume Riemann Proprietățile funcțiilor integrabile: mărginire, liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare, proprietatea de ereditate, stabilitatea integralei față de modificarea valorilor funcției într-un număr finit de puncte Teorema de medie, interpretare geometrică. Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue Metode de integrare: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă Aplicații: aria unei suprafețe plane, volumul unui corp de rotație, centrul de greutate al unei plăci plane omogene

Notă: Pentru verificarea rezultatelor se pot folosi instrumente digitale.